> Andlerverfahren - Hilfe
 
Erklärungen zur aktuellen Berechnung Das Andlerverfahren ermöglicht die Berechnung der optimalen Bestellmenge durch Betrachtungen bestellmengenfixer und -variabler Kosten.
Der Einfluss von gestaffeltem Mengenrabatt kann bei der Bestellung berücksichtigt werden.
Zur Berechnung
 
  1. Grundmodell der Optimalen Bestellmenge
  2. Problematik der Bestellmengenoptimierung
  3. Entscheidungsrelevante Kosten
  4. Graphische Darstellung der Bestellmengenoptimierung
  5. Prämissen des Grundmodells
  6. Mathematische Ableitung der optimalen Bestellmenge
  7. Rechenbeispiel
  8. Mängel des Grundmodells
  9. Erweiterungen des Grundmodells
  10. Sensitivitätsanalyse
  11. Betrachtung von Mengenrabatt
 

1. Grundmodell der Optimalen Bestellmenge

Bei der Planung der Bestellmenge besteht die Aufgabe darin, unter Berücksichtigung des Kostenaspektes die für das Unternehmen optimale Bestellmenge zu realisieren. Es muss also entschieden werden, ob eine einmalige Bestellung oder mehrere über die Planungsperiode verteilte Bestellungen geringer Mengen für das Unternehmen günstiger sind. Zwischen den Extremfällen der einmaligen Bestellung des Gesamtbedarfs einer Planungsperiode und der täglichen Bestellung besteht nun eine Fülle von Lösungsmöglichkeiten. Ziel ist es, die Bestellmenge so zu wählen, dass ein kontinuierlicher Fertigungsvollzug gewährleistet und die Kosten minimiert werden. Die älteste Berechnungsmethode hierzu stellt die Andler-Formel dar, die auch Grundmodell der optimalen Bestellmenge genannt wird. Sie geht zurück auf F.W. Harris (1925), K. Stefanic-Allmayer (1927) und K. Andler (1929)[2]. Die Andler-Formel soll im weiteren dargestellt werden.
 

2. Problematik der Bestellmengenoptimierung

Im Rahmen der Beschaffungsplanung ergeben sich für ein Unternehmen zwei Entscheidungsmöglichkeiten:
  1. Beschaffung großer Mengen in großen Zeitabständen,
  2. Beschaffung kleiner Mengen in kleinen Zeitabständen.

zu 1.) Beschaffung großer Mengen in großen Zeitabständen:

img

Abbildung 1: Lagermengenbewegung zu 1) [3]

Vorteile:

  • Geringe Beschaffungskosten
  • Größere Sicherheit für einen kontinuierlichen Fertigungsvollzug

Nachteile:

  • Hohe Kapitalbindung mit starker Zinsbelastung
  • Hohe Lagerkosten
  • Erhöhung der Risiken des Veraltens, Verderbens usw. von Lagergütern

zu 2.) Beschaffung kleiner Mengen in kleinen Zeitabständen:

img

Abbildung 2: Lagermengenbewegung zu 2) [4]

Vorteile:

  • Weniger Kapitalbindung mit weniger Zinsen
  • Weniger Lagerkosten
  • Verminderung der Risiken des Veraltens, Verderbens usw. von Lagergütern

Nachteile:

  • Höhere Beschaffungspreise
  • Geringere Sicherheit für einen kontinuierlichen Fertigungsvollzug

⇒ Die Vor- und Nachteile der Beschaffung großer Mengen kehren sich bei der Beschaffung kleiner Mengen um. Es zeigen sich zwei gegenläufige Kostenentwicklungen, was zu einem Optimierungsproblem führt. [5]

 

3. Entscheidungsrelevante Kosten

Wie schon in Kapitel 2 erwähnt, führen die gegenläufigen Kostenentwicklungen zu einem Optimierungsproblem. Damit bilden die Bestellkosten und die Lager- und Zinskosten die entscheidungsrelevanten Kosten im Grundmodell der optimalen Bestellmenge.
Bestellkosten:
Zu den Bestellkosten zählen alle Kosten von der Bestellvorbereitung über Bestellabschluss bis zur Bestellabwicklung. Dies sind Kosten, die jeweils für eine Materialbeschaffung anfallen und damit von der Bestellmenge unabhängig sind. Sie werden auch als bestellfixe Kosten bezeichnet. Bestellkosten sind z.B. Kosten der Angebotseinholung und -prüfung Kosten der Bestellabwicklung, der Lieferterminüberwachung, Mahnkosten, usw.
Lager- und Zinskosten:
Die Lager- und Zinskosten umfassen die Kosten der reinen Lagerhaltung, wie z.B. Raumkosten, Personalkosten, Beleuchtung und Instandhaltung und die Kosten, die sich aus dem wertmäßigen Aspekt der Lagerbestände ergeben, wie z.B. Verzinsung (Kapitalbindungskosten) Versicherung und Kostenbelastungen aus Schwund, Veralterung und Verderb. Sie sind abhängig von der Bestellmenge und werden als bestandsvariable Lagerkosten bezeichnet. [6]
img

Abbildung 3: Lagerkostenentwicklung in Abhängigkeit von der Bestellmenge [7]

Die Abbildung 3 zeigt, dass die Bestellkosten der Planungsperiode mit zunehmender Bestellmenge, d.h. bei abnehmender Bestellhäufigkeit, sinken. Demgegenüber steigen die Lager- und Zinskosten mit steigender Bestellmenge. Zur Bewältigung dieses Problems ist die Bestellmenge so zu wählen, dass die Summe aus bestellmengenfixen Kosten und Lager- und Zinskosten ein Minimum wird (Ò optimale Bestellmenge). [8]

4. Graphische Darstellung der Bestellmengenoptimierung

img

Abbildung 4: Graphische Ableitung der optimalen Bestellmenge [9]

Durch die geometrische Addition der Stückkostenkurven kf(x) und kl(x) + kp(x) erhält man die Gesamtstückkostenkurve kg(x). Deren Tiefpunkt bestimmt die optimale Bestellmenge. Die Gesamtstückkostenkurve nähert sich für x gegen 0 asymptotisch der Kurve kl und für x gegen unendlich der Kurve kl + kp. [10]

5. Prämissen des Grundmodells

Unter einem Modell versteht man ein vereinfachtes Abbild der Realität.
Auch dem Modell der optimalen Bestellmenge liegen bestimmte vereinfachende Annahmen zugrunde :[11]
  1. Daten der Bedarfsstruktur
    1. Vorgegebener Jahresbedarf
    2. Konstanter Materialbedarf pro Zeiteinheit
    3. Keine Fehlmengen zulässig
    4. Konstante Materialqualität
    5. Offene Planungsperiode
  2. Daten der Beschaffung
    1. Konstante Netto-Materialpreise
    2. Isolierte Beschaffung, d.h. keine Verbundbeziehungen der Bestellkosten
    3. Konstante Kosten pro Bestellung
    4. Beliebig teilbare Beschaffungsmengen
    5. Beliebig bestimmbare Lieferzeiten
  3. Daten der Lagerhaltung
    1. Keine Begrenzung der Lagerkapazität
    2. Keine Sicherheitsbestände
    3. Zeitbedarf für die Einlagerung kann vernachlässigt werden
    4. Keine Mengenverluste am Lager
    5. Die Lagerkosten verhalten sich proportional zu den Lagerbeständen und der Lagerdauer, wobei zwischen wert- und mengenabhängigen Lagerkosten zu unterscheiden ist. [12]

6. Mathematische Ableitung der optimalen Bestellmenge[13]

Zur Ableitung der optimalen Bestellmenge werden folgende Symbole verwendet:
  • Bt = Lagerbestand zum Zeitpunkt t [ME]
  • M = Gesamtbedarf der Periode (1 Jahr) [ME]
  • wo = Einstandspreis [€/ME]
  • F = Bestellmengenfixe Kosten [€/Bestellung]
  • p = Zinskostensatz in Prozent pro Jahr
  • l = Lagerkostensatz in Prozent pro Jahr (das auf das zu bestellende Gut entfällt)
  • n = Zahl der Bestellungen pro Jahr (Bestellhäufigkeit)
  • x = Bestellmenge [ME/Bestellung]
  • kg = Stückkosten der bestellten Güter [€]
  • kl = Lagerkosten pro ME [€]
  • kp = Zinskosten pro ME [€]
  • kf = Bestellmengenfixe Kosten pro ME [€]
  • LJ = Lagerkosten pro Jahr [€]
  • LB = Lagerkosten pro Bestellung [€]
  • t L = Lagerdauer einer Bestellung [ZE]
img

Abbildung 5: Lagerbewegung im Modell der optimalen Bestellmenge

Zweckmäßigerweise beginnt man die Ableitung der optimalen Bestellmenge mit der Bestimmung der Lagerkostenfunktion:
  1. Bei einmaliger Beschaffung ist der Lagerbestand zum Zeitpunkt der Anlieferung Bt=0 gleich dem Gesamtbedarf der Periode M:
    img
  2. Bei n-maliger Beschaffung pro Periode ist der Lagerbestand zum Zeitpunkt der Anlieferung Bt=0:
    img
  3. Am Ende der Anlieferungsperiode (vor Eingang der nächsten Lieferung) ist der Lagerbestand:
    img
  4. Der durchschnittliche mengenmäßige Lagerbestand ist somit bei stetigem und gleichmäßigem Lagerabgang:
    img
  5. Der durchschnittliche Lagerbestandswert ermittelt sich durch die Multiplikation des durchschnittlichen mengenmäßigen Lagerbestandes mit dem Einstandspreis pro ME:
    img
  6. Zur Ermittlung der Lagerkosten ist der durchschnittliche Lagerbestandswert mit dem Lagerkostensatz pro Jahr ( l/100) zu multiplizieren. Die Lagerkosten pro Jahr LJ werden also wie folgt ermittelt:
    img

    Formel 1: Lagerkosten pro Jahr [€]

  7. Da in einer Periode n Bestellungen erfolgen, lassen sich die Lagerkosten pro Bestellung LB ermitteln, indem die Lagerkosten pro Jahr durch die Zahl der Bestellungen pro Jahr dividiert werden:
    img
    Aufgrund der Beziehung lassen sich die Lagerkosten pro Bestellung LB durch folgende Gleichung ausdrücken:
    img

    Formel 2: Lagerkosten pro Bestellung [€]

  8. Da mit einer Bestellung x Mengeneinheiten geliefert werden, betragen die Lagerkosten pro ME kl:
    img

    Formel 3: Lagerkosten pro ME [€]

    Die Ermittlung der Zinskostenfunktion erfolgt analog. Bei einem Zinskostensatz pro Jahr ( p / 100) ergeben sich damit folgende Zinskosten pro ME kp:
    img

    Formel 4: Zinskosten pro ME [€]

    Die bestellmengenfixen Kosten in Höhe von F (€) verteilen sich auf die Bestellmenge. Somit ergeben sich bei einer Bestellmenge von x Mengeneinheiten bestellmengenfixe Kosten pro ME kf:
    img

    Formel 5: Bestellmengenfixe Kosten pro ME [€]

    Die gesamten Stückkosten setzen sich aus dem Einstandspreis (wo), den bestellmengenfixen Kosten pro ME (kf), den Lagerkosten pro ME (kl) und den Zinskosten pro ME (kp) zusammen.
    Die gesamten Stückkosten kg der bestellten Güter einschließlich des Einstandspreises sind damit:
    img
    Da der Einstandspreis wo als konstant angenommen wird und damit keinen unmittelbaren Einfluss auf die Bestellmenge ausübt, kann in der obigen Stückkostenfunktion der Einstandspreis wo weggelassen werden.
    Durch Einsetzen von Formel 3, Formel 4 und Formel 5 erhält man folgende Stückkosten kg in Abhängigkeit von der Bestellmenge x:
    img
    img

    Formel 6: Stückkosten kg [€]

    Die optimale Bestellmenge liegt dort, wo die Stückkostenfunktion ihr Minimum hat. Mathematisch liegt ein Minimum dann vor, wenn die notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt sind. Dies bedeutet, dass zunächst die erste Ableitung der Stückkostenfunktion gleich null gesetzt wird und im zweiten Schritt die zweite Ableitung dieser Funktion größer Null sein muss.
    Notwendige Bedingung:
    img

    Hinreichende Bedingung:
    img
    Die erste Ableitung nach x2 aufgelöst ergibt:
    img
    Für die optimale Bestellmenge xopt gilt daher:
    img

    Formel 7: Optimale Bestellmenge xopt [ME]

    Mit Hilfe der Beziehung lässt sich bei gegebenem Periodenbedarf die optimale Bestellhäufigkeit nopt pro Periode ermitteln durch:
    img

    Formel 8: Optimale Bestellhäufigkeit nopt

    Die optimale Lagerdauer topt ermittelt sich durch die Beziehung:
    img

    Formel 9: Optimale Lagerdauer topt [ZE]


    Alternativ:
    Die optimale Bestellmenge lässt sich auch mit Hilfe der Jahreskosten ableiten.
    Die optimale Bestellmenge liegt dort, wo die Jahreskostenfunktion ihr Minimum hat.
    Die Jahreskostenfunktion KJ lautet:
    img
    img

    Formel 10: Jahreskosten KJ [€]

    Notwendige Bedingung für das Minimum:
    img
    Hinreichende Bedingung für das Minimum:
    img
    Die erste Ableitung nach x aufgelöst ergibt:
    img

    Formel 7: Optimale Bestellmenge xopt [ME]

    Zusammenfassung der für die weitere Darstellung relevanten Formeln:
    • Die optimale Bestellmenge gibt die Menge an, die bei jeder Bestellung realisiert wird.
    • Die optimale Bestellhäufigkeit gibt an, wie oft im Jahr bestellt wird.
    • Die optimale Lagerdauer gibt den Zeitraum an, in der die Bestellung verbraucht wird und bestimmt damit den Beschaffungsrhythmus.
    • Die Stückkosten setzten sich aus Einstandpreis, den bestellfixen Kosten und den Lager- und Zinskosten pro ME zusammen.
    • Die Jahreskosten, die sich aus der Multiplikation der Stückkosten mit dem Gesamtbedarf M ergeben, stellten damit die Kosten für den Gesamtbedarf pro Jahr dar.
    img
    img
 

7. Rechenbeispiel

Ein Unternehmen möchte die Bestellmengenplanung für das Einzelteil E für die kommende Periode (1 Jahr) durchführen. Der Bedarf an E beträgt in der Planperiode 2400 Stück. Die fixen Kosten der Bestellung werden mit 400 € und der Lager- und Zinskostensatz wird mit je 10 % pro Jahr geplant. Der Einstandspreis beträgt 60 €.
Gegebene Daten:
  • M = 2400 Stück
  • wo = 60 €
  • F = 400 €
  • p + l = 20 % p.a.
img
img
img
 

8. Mängel des Grundmodells

"Die im Grundmodell angenommene Planungssituation bildet die tatsächlichen betrieblichen Verhältnisse in der Regel nur unvollkommen ab."[14] Die Mängel des Grundmodells resultieren damit aus den zuvor getroffen Annahmen. Beispielsweise wird ein gegebener und zugleich konstanter Verbrauch unterstellt. Eine zeitlich begrenzte Lagerfähigkeit der Güter, wie z.B. technische oder wirtschaftliche Veralterung, wird nicht berücksichtigt. Weiterhin berücksichtigt das Modell nicht, dass innerhalb einer Periode nur ganzzahlige Lösungen für die optimale Bestellhäufigkeit realisierbar sind. Aufgrund der Annahme konstanter Einstandpreise werden auch mögliche Mengenrabatte vernachlässigt. Zudem finden in diesem Modell Restriktionen wie knappe finanzielle Mittel und knappe Lagerkapazitäten und die Bildung von Sicherheitsbeständen keine Berücksichtigung.
Zwei Möglichkeiten zur Erweiterung des Grundmodells der optimalen Bestellmenge, um es realitätsnäher zu gestalten, werden in Kapitel 2.8 näher beschrieben. [15]
 

9. Erweiterungen des Grundmodells

Das dargestellte Modell zur Bestimmung der optimalen Bestellmenge ist, wie bereits in Kapitel 2.4 aufgeführt wurde, unter vereinfachenden Annahmen abgeleitet worden. Es ist jedoch möglich, diese Annahmen schrittweise der Realität anzupassen und das Modell auf diese Weise weiterzuentwickeln. Die Sensitivitätsanalyse und die Berücksichtigung von Mengenrabatten stellen Erweiterungen des Grundmodells dar.
 

10. Sensitivitätsanalyse

Die im ersten Rechenbeispiel (Kapitel 2.6) errechnete ganzzahlige optimale Bestellmenge und Bestellhäufigkeit muss nicht immer zutreffen. Ermitteln wir stattdessen (wie im folgenden Rechenbeispiel) nicht-ganzzahlige Lösungen, so ergibt sich ein Problem, da wir nur eine Periode betrachten und aufgrund dessen nur eine ganzzahlige Bestellhäufigkeit realisieren müssen. In bezug auf die optimale Bestellmenge wird es problematisch, wenn wir nur ganzzahlige Mengeneinheiten bestellen können und unter Umständen sogar Verpackungsrestriktionen berücksichtigen müssen. Erforderlich ist also eine Auf- bzw. Abrundung der Ergebnisse auf ganzzahlige Zahlen. Hierzu ist eine Sensitivitätsanalyse notwendig, die die Kosten bei einer Abweichung von der optimalen Bestellmenge und Bestellhäufigkeit vergleicht.
Das folgende Rechenbeispiel ist so gewählt, dass sich eine nicht ganzzahlige Bestellhäufigkeit ergibt.
Ein Unternehmen möchte die Bestellmengenplanung für das Einzelteil E für die kommende Periode (1Jahr) durchführen. Der Bedarf an E beträgt in der Planperiode 45.000 Stück. Die fixen Kosten der Bestellung werden mit 10.000 € und der Lager- und Zinskostensatz wird mit 25 % pro Jahr geplant. Der Einstandspreis beträgt 36 €.
img
1. Ermittlung der optimalen Bestellmenge:
img
2. Ermittlung der optimalen Bestellhäufigkeit:
img
3. Durchführung einer Sensitivitätsanalyse:
a) Ermittlung der realen Bestellhäufigkeit und der dazugehörigen Bestellmenge:
img
b) Jahreskostenvergleich:
img
img
 

11. Betrachtung von Mengenrabatt

Eine weitere Annahme des Grundmodells ist das Fehlen von Mengenrabatten. Im weiteren wird nun diese Annahme aufgehoben und damit eine Abhängigkeit des Einstandspreises von der Bestellmenge unterstellt. Den Abnehmern werden durch die Lieferanten Mengenrabatte gewährt. [16]
Bei der Berechnung des Kostenminimums ist zunächst zu überprüfen, ob sich das Minimum bei der Unterstellung des höchsten Preisnachlasses ergibt, da dann das Optimum bereits gefunden ist. Ist dies nicht der Fall, so ist eine Untersuchung der Rabattstufen in absteigender Reihenfolge auf ein Minimum erforderlich. Die optimale Bestellmenge liegt dann bei dem kleinsten der ermittelten Minima (globale Minimum). [17]
img
Für den Fall w1 größer w2, ist das Minimum der Kostenfunktion KJ2 stets kleiner als das Minimum der Kostenfunktion KJ1. Liegt das Minimum der Funktion KJ2 bei einer Menge xopt2, die größer als xR ist, so ist dieses xopt2 die optimale Bestellmenge. Liegt die Menge xopt2 jedoch bei einer Menge, die kleiner ist als xR, so scheidet xopt2 als optimale Bestellmenge aus, da sie außerhalb des Geltungsbereiches von w2 liegt.
In diesem Fall muss zur Bestimmung der optimalen Bestellmenge ein Kostenvergleich durchgeführt werden. Die Jahreskosten KJ1 (xopt1) werden mit den Jahreskosten KJ2 (xR) verglichen. Die optimale Bestellmenge wird durch das jeweils niedrigere Kostenniveau bestimmt. Betrachtet man die Abbildung, so liegt das Optimum bei der Menge xR. Die Vorgehensweise bei mengenabhängigen Preisen wird in der Abbildung 8 noch einmal veranschaulicht:
Im ersten Schritt wird xopt 2 berechnet, d.h. es wird die optimale Bestellmenge bei Unterstellung des höchsten Preisnachlasses ermittelt. Im zweiten Schritt ist zu überprüfen, ob die ermittelte Bestellmenge xopt 2 auch zulässig ist, d.h. ob für diese Menge Rabatt gewährt wird. Liegt sie im Rabattbereich, so wird xopt 2 realisiert. Ist xopt 2 jedoch kleiner als xR, so muss im nächsten Schritt xopt 1 ermittelt und anschließend ein Kostenvergleich durchgeführt werden. Es werden erstens die Kosten für den Fall bestimmt, dass xopt 1 realisiert wird und zweitens für den Fall, dass man von der optimalen Bestellmenge abgeht und den Preisvorteil nutzt, in dem man xR, also die Menge bestellt, für die gerade noch Rabatt gewährt wird. Die Bestellmenge mit den niedrigsten Kosten wird als optimale Bestellmenge realisiert.
img

Abbildung 8: Entscheidungstabelle zur Ermittlung der optimalen Bestellmenge bei einem Preissprung

Rechenbeispiel:
Der jährliche Bedarf für ein von einem Lieferanten bezogenes Vorprodukt beträgt 2000 Mengeneinheiten. Die fixen Bestellkosten betragen 10 € und der Lager- und Zinskostensatz beträgt 25 %. Der Lieferant offeriert Ihnen drei mögliche Preise in Abhängigkeit von der Bestellmenge, wobei sich der Preis immer auf die gesamte Bestellmenge bezieht. Das Preissystem stellt sich im einzelnen wie folgt dar:
img
img
Berechnung der optimalen Bestellmenge bei Vorliegen von Mengenrabatt:
img

Formel 7: Optimale Bestellmenge xopt [ME]

1. Schritt: Ermittlung der optimalen Bestellmenge xopt 3 (w3 = 1,85 €/ ME)
img
2. Schritt: Zulässigkeitsprüfung
xopt 3 = 294,09 < 1401 = x1R2=> xopt3 ist nicht zulässig!
Wiederholung:
1. Schritt: Ermittlung der optimalen Bestellmenge xopt2 (w2 = 1,90 €/ ME)
img
2. Schritt: Zulässigkeitsprüfung
xopt2 = 290,19 < 801 = xR 1 => xopt2 ist nicht zulässig!
Wiederholung:
1. Schritt: Ermittlung der optimalen Bestellmenge xopt1 (w1 = 2 €/ ME)
img
2. Schritt: Zulässigkeitsprüfung
xopt1 ist immer zulässig, da w1 der Preis ohne Rabatt ist.
3. Schritt: Jahreskostenvergleich:
img

Formel 10: Jahreskosten KJ [€]

img
4. Schritt: Bestimmung der Endlösung
img
img
Ergebnis: xR 1 = 801 ist die zu realisierende optimale Bestellmenge, da bei dieser die geringsten Jahreskosten entstehen.
Ermittlung der optimalen Bestellhäufigkeit bei Vorliegen von Mengenrabatten:
img
Durchführung einer Sensitivitätsanalyse:
a) Ermittlung der realen Bestellhäufigkeit und der dazugehörigen Bestellmenge:
img
b) Jahreskostenvergleich:
img
© Lehrstuhl für Förder- und Lagerwesen
© 2017 TU Dortmund