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Erklärungen zur aktuellen Berechnung Zur Berechnung der gleitenden wirtschaftlichen Bestellmenge werden die bekannten Bedarfe zu Bestellmengen gruppiert. Überschreiten die Lagerkosten die bestellfixen Kosten, beginnt eine neue Periode.
Zur Berechnung
 
  1. Gleitende Wirtschaftliche Bestellmenge
  2. Berechnung anhand des Beispiel-Szenarios
  3. Lösungsprinzip
  4. Musterlösung
  5. Ergebnis
  6. Veranschaulichung der Suboptimalität anhand dieses Verfahrens
 

1 . Gleitende Wirtschaftliche Bestellmenge

Diese Methode wird auch Least Unit Cost oder Stückkostenverfahren genannt. Sie basiert auf der Grundannahme von Andler, dass der Verlauf der Gesamtkosten pro Stück an einer bestimmten Stelle ein Minimum aufweist. Durch Addition der Beschaffungskosten pro Stück F / x und der Lagerkosten · Stück l · x ergeben sich die Gesamtkosten kg (vgl. Formel 1 und Abbildung 1). F / x hat einen konvexen, fallenden Verlauf, da die fixen Beschaffungskosten F durch eine wachsende Menge x dividiert werden. l * x steigt linear bzw. proportional, da die als konstant angesehenen Lagerkosten l mit der Menge x multipliziert werden.
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Formel 1: Gesamte Stückkosten im Grundmodell von Andler

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Abbildung 1: Verlauf der Stückkostenkurven im Grundmodell von Andler [24]

Die Kurve der Gesamtkosten kg weist an einer Stelle ein Minimum auf, genauer gesagt bei der Menge xopt. xopt stellt somit die kostenminimale Bestellmenge pro Bestellung dar. Eine Bestellung dieser Größe - also mit der Menge xopt - besitzt die niedrigsten Kosten pro Stück. Das Verfahren der Gleitenden Wirtschaftlichen Bestellmenge basiert nun auf folgender Idee: Vor Erreichen des Minimums kmin müssen die Gesamtkosten pro Stück kg zwangsläufig sinken, danach steigen sie an.
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Abbildung 2: Gesamte Stückkosten fallen vor Erreichen des Optimums

Somit ist im Folgenden nur der grau hinterlegte Bereich der Kurve der gesamten Stückkosten vom Interesse (vgl. Abbildung 2). Die gesamten Stückkosten für eine Zeitspanne ki, j lassen sich mit folgender Formel iterativ berechnen.
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Formel 2: Gleitende Wirtschaftliche Bestellmenge

ki,j bezeichnet die Gesamtkosten pro Stück (ähnlich kg in Formel 1) bei einer Bestellung für die Perioden i bis j, welche durchaus mehr als eine Periodenlänge auseinander liegen dürfen. Jedoch gilt es, die Ganzzahligkeit des Zeitraumes zwischen i und j zu wahren, da i und j als Indizes in den Summentermen auftauchen. F stellt die Fixkosten pro Bestellung - auch Beschaffungskosten genannt - dar. Der Term hinter dem "+" beschriebt die variablen Kosten, mit dt als Bedarf an Einheiten, l als gesamte variable Lagerkosten pro Stück und ( t- i +0,5) als Eindeckungszeitraum. Der gesamte Term wird nun noch durch den kumulierten Bedarf
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dividiert, um die Kosten pro Stück herauszubekommen.
Die 0,5 beim Eindeckungszeitraum resultiert aus der Annahme kontinuierlicher, linearer Lagerabgänge, d.h., dass beschaffte Materialien in einem kontinuierlichen, gleichmäßigen Strom in den Produktionsprozess abfließen (vgl. Abbildung 3, Teil a)). Aus dieser Annahme ergibt sich das idealtypische Bild der "Sägezahnkurve". Der mittlere Lagerbestand ist in diesem Fall genau die Hälfte der beschafften Menge xb. Dies hat rechnerisch den gleichen Effekt, als ob man den Bestand abrupt genau zur Hälfte der letzten Lagerungsperiode aufzehrt, da die Fläche gleich bleibt (vgl. Abbildung 3, Teil c)). Die Hälfte des Bestandes wird nach Ablauf der ersten Hälfte der verbrauchenden Periode eben gerade unterschritten. Graphisch lässt sich das durch das Umklappen des unteren rechten Dreiecks veranschaulichen (vgl. Abbildung 3, Teil b)). Eine intuitive Begründung ist, dass der benötigte Bestand nicht über die gesamte letzte Periode auf dem Lager liegt. Im Schnitt liegt er gerade nur die Hälfte der Zeit dort.
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Abbildung 3: Grafische Herleitung des durchschnittlichen Lagerbestandes

Wird ein Gut nun beispielsweise in der 1. Periode für die 3. Periode angeschafft, wird ein Eindeckungszeitraum von 3 - 1 + 0,5 = 2,5 Perioden angesetzt (vgl. Abbildung 4). Die Perioden 1 und 2 (P1 und P2) werden voll, Periode 3 (P3) nur zu 50% (=0,5) angerechnet.
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Abbildung 4: Veranschaulichung der Bestimmung des angesetzten Eindeckungszeitraumes

 

2. Berechnung anhand des Beispiel-Szenarios

Folgendes Beispielszenario wird mit Hilfe der Gleitenden Wirtschaftlichen Bestellmenge berechnet:
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Tabelle 1: Beispiel-Szenario Gleitende Wirtschaftliche Bestellmenge

  • Lagerkosten: l = 1,50 [€/Stück · Periode]
  • Bestellkosten: F = 60,00 [€/Bestellung]
 

3. Lösungsprinzip

Für die erste Periode aus unserem Beispielszenario ergeben sich nun folgende Kosten. Da Periode 1 in diesem Fall sowohl als Anfangs- und Endpunkt dient, ist die durchschnittliche Lagerdauer . Es ergibt sich gemäß Formel 20 folgender Rechenansatz.
j = i ; ki,j= img
Mit den Zahlen aus dem gegebenen Szenario folgt daraus:
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Diese Kosten alleine sagen noch nichts. Man will ja herausfinden, für wie lange sich die Kosten auf einem absteigenden Pfad befinden. Also berechnet man die Kosten, für denn Fall, dass man nun auch für Periode 2 mitbestellt. Man setzt dafür i=1 und j=2.
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Es liegt nun ein höheres Gewicht auf der zweiten Größe d2=30 derart, dass sich der Faktor für jede weitere Periode um 1 erhöht. Dies ist offensichtlich, denn Materialen, die heute gekauft werden, um sie in einer späteren Periode zu verwenden, liegen länger im Lager als die Materialen für vorhergehende Perioden. Sie verursachen dadurch höhere Lagerkosten.
Da k1,2 kleiner als k1,1 ist, also die Gesamtkosten im Sinken begriffen sind, folgt eine weitere Iteration mit i=1 und j=3.
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Hier fällt nun auf, dass k1,3 größer als k1,2 ist, man sich also schon vom Optimum fort bewegt. Deshalb zieht man die letzte mitberechnete 3. Periode nicht in die erste Bestellung mit ein, sondern berücksichtigt diese für eine neue, zweite Bestellung. Die kumulierten Bedarfe dt im Nenner der 2. Iteration ergeben die Bestellmenge für die erste Bestellung: 20 + 30 = 50 Stück. Es erfolgt eine neue Iteration mit i=3 und j=3.

4. Musterlösung

Hier werden nun die Lösungen für das gesamte gegebene Szenario vorgestellt.
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5.Ergebnis

Im Anschluss an jede Musterlösung wird der ermittelte Bestellplan in Tabellenform zusammengefasst (vgl. Tabelle 13). In welcher Periode welche Menge zu bestellen ist, entnimmt man der dritten Zeile. Dort werden die oben ermittelten Bestellmengen mit ihren jeweiligen Bestellzeitpunkten zusammengetragen.
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Tabelle 2: Ergebnis Gleitende Wirtschaftliche Bestellmenge


6. Veranschaulichung der Suboptimalität anhand dieses Verfahrens

Die Suboptimalität dieses Verfahrens lässt sich wie folgt veranschaulichen. Die berechnete kostengünstige Menge kann rechts über das tatsächliche Optimum hinausschießen oder die mathematisch optimale Menge nicht ganz ausschöpfen
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Abbildung 5: Veranschaulichung der Suboptimalität

In beiden Abbildungen befinden sich die ersten drei Schritte aufgrund der ihnen zugeordneten Kosten auf einem absteigenden Pfad: k1 > k2 > k3. Der vierte Punkt verletzt in beiden Fällen das Abbruch-Kriterium, da er höhere Kosten aufweist als Punkt drei: k4 > k3. Je nachdem wie groß nun die benötigte Menge für Periode 3 ist (Abstand x2 zu x3), kann diese mutmaßlich günstige Lösung mitunter fernab des Optimums liegen. Zudem fällt auf, dass die ermittelten bestmöglichen Annäherungen x3 mengenmäßig (x-Achse) beide weit auseinanderfallen.
© Lehrstuhl für Förder- und Lagerwesen
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