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Erklärungen zur aktuellen Berechnung Die Berechnung nach Wagner und Whitin (auch "Kürzeste-Wege-Verfahren") basiert auf der dynamischen Programmierung. Bei jeder Erweiterung des Betrachtungszeitraumes um eine Periode werden für die möglichen Entscheidungen (Erneute Bestellung, Vergrößerung einer vorangegangenen Bestellmenge) die Kostenberechnet und der Minimalwert bestimmt.
Zur Berechnung
 
  1. Wagner/Whitin-Verfahren
  2. Dynamische Programmierung
  3. Das Wagner/Whitin-Verfahren
  4. Funktionsweise
  5. Verfahren zur Lösung
  6. Berechnung anhand eines Beispielszenarios
  7. Musterlösung
  8. Ergebnis
  9. Vorteile
  10. Kritik
 

1. Wagner/Whitin-Verfahren

Das Verfahren von Wagner und Whitin wurde im Jahre 1958 als Lösungsverfahren für das dynamische Losgrößenmodell entwickelt. Das Lösungsverfahren basiert auf der 1957 von Bellman entwickelten Dynamischen Optimierung, die auch als Dynamische Programmierung bezeichnet wird und ist speziell auf das Losgrößenproblem zugeschnitten. Um diese Verfahren anwenden zu können, wird - im Gegensatz zu den Heuristiken - ein abgeschlossener Planungszeitraum vorausgesetzt.
 

2. Dynamische Programmierung

Bei der dynamischen Programmierung wird das Problem in mehrere einfacher zu lösende Teilprobleme unterteilt. Die optimale Lösung kann dann mit Hilfe der optimalen Lösungen der kleineren Probleme berechnet werden. Dafür werden sämtliche Teilergebnisse im Voraus berechnet und z.B. in einer Tabelle gespeichert. Das Endergebnis ergibt sich dann im Enddurchlauf, indem die optimale Verkettung von Teillösungen durchlaufen und diese Teillösungen zusammengerechnet werden.
 

3. Das Wagner/ Whitin- Verfahren

Das von Wagner und Whitin veröffentlichte Losgrößenverfahren stellt eine für dynamische Bestellmengeplanung speziell angepasste Vorgehensweise dar, bei der die Anzahl der zu berechnenden Losgrößenpolitiken und damit der Rechenaufwand der Dynamischen Programmierung vermindert wird. Das Wagner/Whitin-Verfahren berechnet über den gesamten Planungshorizont für alle sinnvollen Bestellstrategien die zur Entscheidung wichtigen Kosten und sucht die günstigste heraus.
Die Vereinfachungen, die beim Wagner/Whitin-Verfahren im Vergleich zum allgemeinen Ansatz der dynamischen Optimierung erzielt werden, wurden durch die Herleitung der folgenden Theoreme ermöglicht:
  • Theorem 1: (Zeitpunkttheorem)
    Wird bei der kostenoptimalen Strategie in einer Periode t bestellt, so existiert kein Lagerbestand aus der Vorperiode t-1.
    Andernfalls könnten Lagerhaltungskosten eingespart werden, indem die gelagerte Menge ebenfalls erst in Periode t eingekauft würde, ohne dass die mengenunabhängigen Bestellkosten steigen.
    Es muss gelten:
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  • Theorem 2: (Mengentheorem)
    Wird in einer Periode t eingekauft, so entspricht die Bestellmenge dem kumulierten Bedarf zukünftiger Perioden.
    Formal:
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    Ansonsten würde der Bedarf einer Periode teils durch Lagerung und teils durch Neubestellung erfolgen, was nach dem ersten Theorem nicht kostenoptimal ist, da es zu unnötigen Lagerhaltungskosten führt.
  • Theorem 3:
    Wird der Bedarf einer zukünftigen Periode schon in einer vorherigen Periode gedeckt, so werden auch die Bedarfsmengen der dazwischen liegenden Perioden in besagter Vorperiode bestellt.
    Andernfalls würde in einer dazwischenliegenden Periode eine Bestellung ausgeführt, obwohl ein Lagerbestand vorhanden ist. Gemäß Theorem 1 sind solche Lösungen nicht zu betrachten.
    Die zu untersuchenden Bestellstrategien (alle Bestellstrategien, die den drei oben aufgeführten Theoremen nicht widersprechen) können mit dem Horizonttheorem noch weiter reduziert werden:
    Vorperioden werden nur soweit herangezogen, solange die Summe der Lagerkosten nicht größer ist als die Bestellkosten, da dann eine neue Bestellung zu niedrigeren Kosten führt.

4. Funktionsweise

Bei der schrittweisen Erhöhung des Betrachtungszeitraumes um eine Periode kommen aufgrund der Theoreme nur noch zwei grundsätzliche Strategien in Frage: Entweder wird der Materialbedarf der Periode t dadurch gedeckt, dass die Bestellmenge einer vorherigen Periode um die Bedarfsmenge der Periode t erhöht wird oder in der Periode t wird eine Kosten der ersten Strategie:
Wird der Bedarf der Periode t schon in einer früheren Periode t' mitbestellt, so entstehen einerseits die optimalen Kosten bis zur Periode t'-1, zusätzlich die bestellmengenfixen Kosten F in Periode t' und die Lagerhaltungskosten für die Lagerung der Bedarfsmengen der Perioden t'+1 bis T. Die Lagerhaltungskosten ergeben sich aus der Multiplikation der Menge dt mit der Anzahl der gelagerten Perioden (t-t') und dem Lagerhaltungskostensatz l.
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Formel 1: Kosten bei Bestellung in einer früheren Periode t'

Die Summe dieser Kosten wird für alle möglichen Perioden ausgerechnet und verglichen. Die Periode t' mit den geringsten Kosten ist diejenige Periode, in der der Bedarf der Periode t mitbestellt wird.
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Formel 2: Minimale Kosten bei Bestellung in einer früheren Periode t'

Kosten der zweiten Strategie:
Die Kosten für eine neue Bestellung in Periode t ergeben sich aus den optimalen Kosten Kt-1* bis zur Periode t-1 und den bestellmengenfixen Kosten F.
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Formel 3: Kosten bei neuer Bestellung in der aktuellen Periode

Kosten beim Wagner/Whitin-Verfahren
Aus diesen Strategien zur Deckung des Bedarfes bis zur Periode t, wird diejenige mit den minimalen Kosten herausgesucht. Daraus ergibt sich folgende Formel:
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Formel 4: Kostenminimierung beim Wagner/Whitin-Verfahren

Dabei sind KT* die minimalen Kosten, wenn Bestellungen und Lagerhaltung bis zur Bedarfsperiode T optimal geplant werden. Der obere Term der Formel 4 bezeichnet die Kosten, wenn der Nettobedarf der Periode T in einer früheren Periode t' erstellt wird. Der untere Term gibt an, dass in Periode T ein neues Los aufgelegt wird, das den Nettobedarf dieser Periode T deckt. Diese Kosten werden in einer Tabelle gespeichert.
Mit Hilfe der später noch erläuterten Rückwärtsrechnung werden anschließend die optimalen Auflageperioden und Losgrößen ermittelt.
Anmerkung:
Die Kosten können auch unter Anwendung der folgenden Formeln berechnet werden:
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Formel 5: alternative Kostenberechnung

oberer Term: Bestellung in Periode i wird um eine Periode erweitert (Kosten bis zur j-ten Periode bei Bestellung in der i-ten Periode plus zusätzlich anfallende Lagerkosten)
unterer Term: neue Bestellung in der Periode i (minimale Kosten bis Periode i-1 und neue Bestellung in Periode i)
Im Unterschied zu Formel 4werden die Kosten für die erste Strategie nicht komplett neu berechnet, sondern bauen auf die schon berechneten Kosten der Vorperiode auf. Die Kosten der gleichen Strategie der Vorperiode (z.B. Bestellung in der 3. Periode) werden nur um die Lagerkosten, die durch die Lagerung des Bedarfes der aktuellen Periode anfallen, erhöht.
Bei Anwendung dieser Formeln ist allerdings nicht erkennbar, wann die Lagerhaltungskosten die Bestellkosten überschreiten. Daher werden unter Umständen zu viele (unnötige) Tabelleneinträge berechnet.

5. Verfahren zur Lösung

Das Verfahren zur Lösung wird an folgendem Beispiel erläutert:
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  • Bestellkosten: F = 60,00 [€/Bestellung]
  • Lagerkosten: l = 1,50 [€/Stück x Periode]
Zur Ermittlung eines optimalen Bestellprogramms wird zunächst die obere rechte Hälfte einer Tabelle ausgefüllt:
In Zelle (i,j) werden dabei die Kosten eingetragen, die entstehen, wenn der Bedarf der j-ten Periode in Periode i mitbestellt werden.
Um die optimalen Kosten einer Periode zu bestimmen, wird bei einigen Strategien auf die optimalen Kosten der Vorperiode zugegriffen. Diese Abhängigkeiten sind in der Tabelle farblich hervorgehoben.
1. Schritt: In der ersten Periode gibt es nur die Möglichkeit, den aktuellen Bedarf durch eine Bestellung in der ersten Periode zu decken, die zu Kosten in Höhe der fixen Bestellkosten F = 60 € führt. Daher werden in Zelle (1,1) die fixen Bestellkosten F eingetragen.
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Tabelle 1: Wagner/Whitin - Schritt 1

Die optimalen (minimalen) Kosten K1* der ersten Periode in Höhe von 60 € sind in Tabelle 1in Zelle (1,1) zu finden (rot markiert).
2. Schritt: Für die zweite Periode gibt es zwei Strategien:
- Bestellung des Bedarfes der Periode 2 in der zweiten Periode und Anwendung der optimalen Strategie bis zur ersten Periode.
- Bestellung in der ersten Periode, d.h. die Bedarfe der ersten beiden Perioden werden zusammengefasst.
Zunächst wird die erste Strategie betrachtet. Dabei ergeben sich die Kosten gemäß dem unteren Teil der Formel 4 aus den minimalen Kosten KT-1*=60 € der vorherigen Spalte bzw. Periode (in der Tabelle rot gekennzeichnet) plus einmal Bestellkosten F in Höhe von 60 €. Es entstehen keine Lagerkosten. Insgesamt fallen Kosten in Höhe von 60 + 60 = 120 € an. Diese Kosten werden in Zelle (2,2) eingetragen (siehe Tabelle 3).
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Tabelle 2: Wagner/Whitin - Schritt 2

3. Schritt: Betrachtung der zweiten Strategie für die zweite Periode (den Bedarf der aktuellen Periode in der ersten Periode mitbestellen und lagern). Diese Strategie verursacht Bestellkosten F in Höhe von 60 € in der ersten Periode. Zusätzlich wird der Bedarf der zweiten Periode eine Periode lang gelagert, wodurch Lagerhaltungskosten L in Höhe von = 45 € anfallen (oberer Teil der Formel 4). Die Gesamtkosten der Strategie betragen 105 € und werden in Zelle (1,2) eingetragen (siehe Tabelle 3).
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Tabelle 3: Wagner/Whitin - Schritt 3

Die optimale Strategie bis zur zweiten Periode ist natürlich die Strategie mit den minimalen Kosten in Höhe von K2* = 60 € (Strategie 1). Die zur optimalen Strategie zugehörigen minimalen Kosten bis zur zweiten Periode sind hier blau markiert.
4. Schritt: Bei der dritten Periode gibt es drei Auswahlmöglichkeiten:
- Bestellung des Bedarfes der Periode 3 in der dritten Periode und Anwendung der optimalen Strategie bis zur dritten Periode.
- Bestellung des Bedarfes der Periode 3 in der Periode 2, d.h. der Bedarf der ersten Periode wird einzeln bestellt und die Bedarfe der Perioden 2-3 werden zusammengefasst.
- Bestellung in der ersten Periode, d.h. die Bedarfe der ersten drei Perioden werden zusammengefasst.
Zunächst wird die erste Strategie betrachtet. Dabei ergeben sich die Kosten gemäß dem unteren Teil der Formel 17 aus den durch die optimale Strategie bis zur zweiten Periode verursachten minimalen Kosten KT-1*der vorherigen Spalte bzw. Periode (in der Tabelle blau gekennzeichnet) plus einmal Bestellkosten F in Höhe von 60 € in der dritten Periode. Insgesamt ergeben sich Kosten in Höhe von 60+105=165 €. Diese Kosten werden in Tabelle 4 in Zelle (3,3) eingetragen.
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Tabelle 4: Wagner/Whitin - Schritt 4

5. Schritt: Bei der zweiten Strategie, bei welcher der Bedarf der dritten Periode in der zweiten Periode mitbestellt wird, fallen sowohl in der ersten als auch in der zweiten Periode Bestellkosten in Höhe von 60 € an (optimale Kosten bis zur ersten Periode sind genau die Bestellkosten). Dazu kommen noch die Kosten durch die Lagerung des Bedarfes der dritten Periode in Höhe von €. Die Gesamtkosten der Strategie, die in Zelle (2,3) eingetragen werden, betragen 60+60+75=195 €.
Da die Lagerhaltungskosten größer sind als die Bestellkosten, braucht die dritte Strategie aufgrund des Horizonttheorems nicht berechnet zu werden, da sie zu noch größeren Lagerhaltungskosten führt (Der Bedarf der dritten Periode wird z.B. noch eine weitere Periode lang gelagert.) und damit weiterhin eine neue Bestellung kostengünstiger ist.
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Tabelle 5: Wagner/Whitin - Schritt 5

Damit ist die erste Strategie die optimale Strategie bis zur dritten Periode. und die optimalen Kosten K3* bis zur dritten Periode betragen 165 € wie in Tabelle 5 grün dargestellt ist.
Zur Ermittlung des endgültigen Bestellprogramms ist die Betrachtungsrichtung rückwärts von der letzten bis zur ersten Periode:
6. Schritt: In der letzten Spalte wird die Zelle (i,j) mit den minimalen Kosten ermittelt. Dies ist in Tabelle 6 die Zelle (3,3).
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Tabelle 6: Wagner/Whitin - Schritt 6

Die Zeilennummer i gibt die Periode an, zu deren Beginn der Bedarf für den Zeitraum i bis j bestellt wird. Also wird in der dritten Periode der Bedarf von der dritten bis zur dritten Periode bestellt. Damit ist ab der dritten Periode (i=3) die Lösung gefunden und nur noch die Spalten 1 bis i-1 brauchen betrachtet werden.
7. Schritt: Um die Bestellmengen für die Perioden eins bis zwei zu ermitteln, wird in der nun letzten Spalte (eine Periode bevor die Bestellung stattfindet) nach den minimalen Kosten gesucht (in Tabelle 7 die Zelle (1,2)).
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Tabelle 7: Wagner/Whitin - Schritt 7

Die Zeilennummer i gibt wiederum die Periode an, zu deren Beginn der Bedarf für den Zeitraum i bis j bestellt wird. Also wird in der ersten Periode der Bedarf von der erste bis zur zweiten Periode bestellt.
Damit ist für alle Perioden die Lösung gefunden und die optimale Bestellpolitik für das kleine Beispiel ergibt sich als:
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Tabelle 7: Wagner/Whitin - Schritt 7

Allgemeine Vorgehensweise:
1. In Zelle (1,1) werden zunächst die Bestellkosten F eingetragen.
2. In einer neuen Spalte wird stets auf der Diagonalen gestartet:
In der Zelle (i, i) wird der minimale Kostensatz der vorherigen Spalte plus einmal Bestellkosten eingetragen.
3. Für alle Zellen oberhalb von (i, i) kommt der obere Teil der Formel zur Anwendung. Sind die dort berechneten Lagerkosten größer als die Bestellkosten, so ist eine neue Bestellung auf jeden Fall günstiger und diese Strategie braucht nach dem Horizonttheorem nicht weiter beachtet werden. Damit bleiben alle Zellen rechts davon und oberhalb davon leer, da für diese Strategien die Lagerhaltungskosten noch höher sind.
4. Die minimalen Kosten Kt* der aktuellen Spalte werden ermittelt.
5. Es wird mit dem Ausfüllen der nächsten Spalte begonnen (Punkt 2).
Zur Ermittlung des endgültigen Bestellprogramms ist die Betrachtungsrichtung rückwärts von der letzten bis zur ersten Periode:
6. Zunächst wird in der letzten Spalte die Zelle (i,j) mit den minimalen Kosten ermittelt. Die Zeilennummer i gibt die Periode an, zu deren Beginn der Bedarf für den Zeitraum i bis j bestellt wird. Die Bestellmenge ergibt sich aus den kumulierten Bedarfen in diesen Perioden. Damit ist ab Periode i die Lösung gefunden.
7. Um den zweitletzten Liefertermin zu ermitteln, wird in der Spalte i-1 (eine Periode bevor die Bestellung stattfindet) nach den minimalen Kosten gesucht und wie in Punkt 4 weitergemacht bis die erste Periode erreicht wird.

6. Berechnung anhand eines Beispielszenarios

Folgendes Beispielszenario wird mit Hilfe des Wagner/Whitin-Verfahrens berechnet:
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Tabelle 8: Beispiel-Szenario Wagner/Whitin-Verfahren

  • Lagerkosten: l = 1,50 [€/Stück x Periode]
  • Bestellkosten: F = 60,00 [€/Bestellung]
 

7. Musterlösung

Nachfolgende Tabelle enthält alle Kosten für die einzelnen zu betrachtenden Bestellstrategien. Die jeweils geringsten Kosten einer Spalte sind fett gedruckt.
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Tabelle 9: Tabelle für den gesamten Planungshorizont

Tabelleneintrag (1,1):
Der Bedarf der ersten Periode wird in der ersten Periode bestellt.
Kosten: K1,1 = F = 60
minimale Kosten der ersten Periode:
K1* = K1,1 = 60
Tabelleneintrag (2,2):
Der Bedarf der zweiten Periode wird in der zweiten Periode bestellt.
Zusätzlich optimale Lösung bis zur ersten Periode.
Kosten: K2,2 = K1* + F = 60 + 60 = 120
Tabelleneintrag (1,2):
Der Bedarf der zweiten Periode wird in der ersten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der zweiten Periode.
Kosten: K1,2 = F + 1,5 * 30 * 1 = 60 + 45 = 105
Die optimale Strategie bis zur zweiten Periode ist diejenige von den beiden mit den geringsten Kosten. Diese optimale Strategie bzw. die minimalen Kosten dieser Strategie werden für die Berechnung der weiteren Tabelleneinträge benötigt.
minimale Kosten bis zur zweiten Periode:
K2* = min {K2,2; K1,2} = min {120; 105} = 105
Tabelleneintrag (3,3):
Der Bedarf der dritten Periode wird in der dritten Periode bestellt.
Zusätzlich optimale Lösung bis zur zweiten Periode.
Kosten: K3,3 = K2* + F = 105 + 60 = 165
Tabelleneintrag (2,3):
Der Bedarf der dritten Periode wird in der zweiten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der dritten Periode,
optimale Strategie bis zur ersten Periode.
Kosten: K2,3 = K1* + 60 + 1,5 * 50 * 1 = 60 + 60 + 75 = 195
Da die Lagerkosten höher sind als die Bestellkosten braucht diese Strategie nach dem Horizonttheorem nicht weiter betrachtet werden.
minimale Kosten bis zur dritten Periode:
K3* = min {K3,3; K2,3}= min {165; 195} = 165
Tabelleneintrag (4,4):
Der Bedarf der vierten Periode wird in der vierten Periode bestellt.
Zusätzlich optimale Lösung bis zur dritten Periode.
Kosten: K4,4 = K3* + F = 165 + 60 = 225
Tabelleneintrag (3,4):
Der Bedarf der vierten Periode wird in der dritten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der vierten Periode,
optimale Strategie bis zur zweiten Periode.
Kosten: K3,4 = K2* + 60 + 1,5 * 10 * 1 = 105 + 60 + 15 = 180
Tabelleneintrag (2,4):
Der Bedarf der vierten Periode wird in der zweiten Periode mitbestellt.
Lagerung der Bedarfe der dritten und vierten Periode,
optimale Strategie bis zur ersten Periode.
Kosten: K2,4 = K1* + 60 + 1,5 * 50 * 1 + 1,5 * 10 * 2 = 60 + 60 + 105 = 225
Die Lagerkosten sind höher als die Bestellkosten. Daher braucht diese Strategie nicht weiter betrachtet zu werden.
minimale Kosten bis zur vierten Periode:
K4* = min {K4,4; K3,4; K2,4}= min {225; 180; 225} = 180
Tabelleneintrag (5,5):
Der Bedarf der fünften Periode wird in der fünften Periode bestellt.
Zusätzlich optimale Lösung bis zur vierten Periode.
Kosten: K5,5= K4* + F = 180 + 60 = 240
Tabelleneintrag (4,5):
Der Bedarf der fünften Periode wird in der vierten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der fünften Periode,
optimale Strategie bis zur dritten Periode.
Kosten: K4,5= K3* + 60 + 1,5 * 30 * 1 = 165 + 60 + 45 = 270
Tabelleneintrag (3,5):
Der Bedarf der fünften Periode wird in der dritten Periode mitbestellt.
Lagerung der Bedarfe der vierten und fünften Periode,
optimale Strategie bis zur zweiten Periode.
Kosten: K3,5= K2* + 60 + 1,5 * 10 * 1+ 1,5 * 30 * 2 = 105 + 60 + 15 + 90 =270
Die Lagerkosten sind höher als die Bestellkosten. Daher braucht diese Strategie nicht weiter betrachtet zu werden.
minimale Kosten bis zur fünften Periode:
K5* = min {K5,5; K4,5; K3,5}= min {240; 270; 270} = 240
Tabelleneintrag (6,6):
Der Bedarf der sechsten Periode wird in der sechsten Periode bestellt.
Zusätzlich optimale Lösung bis zur fünften Periode.
Kosten: K6,6 = K5* + F = 240 + 60 = 300
Tabelleneintrag (5,6):
Der Bedarf der sechsten Periode wird in der fünften Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der sechsten Periode,
optimale Strategie bis zur vierten Periode.
Kosten: K5,6 = K4* + 60 + 1,5 * 60 * 1= 180 + 60 + 90 = 330
Die Lagerkosten sind höher als die Bestellkosten. Daher braucht diese Strategie nicht weiter betrachtet zu werden.
minimale Kosten bis zur sechsten Periode:
K6* = min {K6,6; K5,6}= min {300; 330} = 300
Tabelleneintrag (7,7):
Der Bedarf der siebten Periode wird in der siebten Periode bestellt.
Zusätzlich optimale Lösung bis zur sechsten Periode
Kosten: K7,7 = K6* + F = 300 + 60 = 360
Tabelleneintrag (6,7):
Der Bedarf der siebten Periode wird in der sechsten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der siebten Periode
optimale Strategie bis zur fünften Periode.
Kosten: K6,7 = K5* + 60 + 1,5 * 5 * 1= 240 + 60 + 7,5 = 307,5
minimale Kosten bis zur siebten Periode:
K7* = min {K7,7; K6,7}= min {360; 307,5} = 307,5
Tabelleneintrag (8,8):
Der Bedarf der achten Periode wird in der achten Periode bestellt.
optimale Lösung bis zur siebten Periode
Kosten: K8,8 = K7* + F = 307,5 + 60 = 367,5
Tabelleneintrag (7,8):
Der Bedarf der achten Periode wird in der siebten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der achten Periode,
optimale Strategie bis zur sechsten Periode.
Kosten: K7,8 = K6* + 60 + 1,5 * 5 * 1= 300 + 60 + 7,5 = 367,5
Tabelleneintrag (6,8):
Der Bedarf der achten Periode wird in der sechsten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der siebten und achten Periode,
optimale Strategie bis zur fünften Periode.
Kosten: K6,8 = K5* + 60 + 1,5 * 5 * 1 + 1,5 * 5 * 2 = 240 + 60 + 7,5 + 15= 322,5
minimale Kosten bis zur achten Periode:
K8* = min {K8,8; K7,8; K6,8}= min {367,5; 367,5; 322,5} = 322,5
Tabelleneintrag (9,9):
Der Bedarf der neunten Periode wird in der neunten Periode bestellt.
optimale Lösung bis zur achten Periode
Kosten: K9,9 = K8* + F = 322,5 + 60 = 382,5
Tabelleneintrag (8,9):
Der Bedarf der neunten Periode wird in der achten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der neunten Periode,
optimale Strategie bis zur siebten Periode.
Kosten: K8,9 = K7* + 60 + 1,5 * 20 * 1= 307,5+ 60 + 30 = 397,5
Tabelleneintrag (7,9):
Der Bedarf der neunten Periode wird in der siebten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der achten und neunten Periode,
optimale Strategie bis zur sechsten Periode.
Kosten: K7,9 = K6* + 60 + 1,5 * 5 * 1+ 1,5 * 20 * 2= 300 + 60 + 7,5 + 60 = 427,5

Lagerkosten sind höher als die Bestellkosten und daher braucht diese Strategie nicht weiter betrachtet werden.
minimale Kosten bis zur neunten Periode:
K9* = min {K9,9; K8,9; K7,9}= min {382,5; 397,5; 427,5} = 382,5
Tabelleneintrag (10,10):
Der Bedarf der zehnten Periode wird in der zehnten Periode bestellt.
optimale Lösung bis zur neunten Periode
Kosten: K10,10 = K9* + F = 382,5 + 60 = 442,5
Tabelleneintrag (9,10):
Der Bedarf der zehnten Periode wird in der neunten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der zehnten Periode,
optimale Strategie bis zur achten Periode.
Kosten: K9,10 = K8* + 60 + 1,5 * 30 * 1= 322,5+ 60 + 45 = 427,5
Tabelleneintrag (8,10):
Der Bedarf der zehnten Periode wird in der achten Periode mitbestellt.
Lagerung des Bedarfes der neunten und zehnten Periode,
optimale Strategie bis zur siebten Periode.
Kosten: K8,10 = K7* + 60 + 1,5 * 20 * 1+ 1,5 * 30 * 2 = 307,5 + 60 + 30 + 90 = 487,5
Lagerkosten sind höher als die Bestellkosten und daher braucht diese Strategie nicht weiter betrachtet werden.
minimale Kosten bis zur zehnten Periode:
K10* = min {K10,10; K9,10; K8,10}= min {442,5; 427,5; 487,5} = 427,5
Dies sind gleichzeitig auch die minimalen Gesamtkosten und damit die Kosten der optimalen Bestellstrategie für die Perioden 1 bis 10.
Aus der obigen Tabelle werden die Einsparungen an Rechenaufwand aufgrund des Horizonttheorems deutlich. Sie entsprechen den freien Feldern im rechten oberen Teil der Tabelle, die aus dem vorzeitigen Abbruch bei der Berechnung von Zwischenlösungen resultiert. Nur im ungünstigsten Fall, bei ungünstiger Konstellation der Kosten, ergibt sich keine Aufwandsersparnis.
Die Auswertung der Bestellzeitpunkte und -mengen erfolgt rückwärts von der letzten bis zur ersten Periode. Das Minimum in der letzten Spalte (hier Tabelleneintrag (9,10)) gibt an, dass die Kosten minimal sind, wenn der Bedarf der zehnten Periode in der neunten Periode bestellt wird. Damit ist klar, dass die Bedarfe der Perioden 9 und 10 zu einer Bestellmenge in Periode 9 zusammengefasst werden. Damit reduziert sich das Problem mit 10 Perioden auf das gleiche Problem mit nur noch 8 Perioden. In der achten Spalte wird das Minimum in der sechsten Zeile erreicht. Dies bedeutet, dass der Bedarf der achten Periode am günstigsten in der sechsten Periode mitbestellt wird. Daher werden die Bedarfe der Perioden 6-8 zu einer Bestellmenge in Periode 6 zusammengefasst und anschließend das Problem bis zur fünften Periode betrachtet. Das Minimum der fünften Spalte befindet sich in der fünften Zeile. Dies bedeutet, dass der Bedarf der fünften Periode in der fünften Periode bestellt wird. Nun geht's weiter mit der vierten Spalte. Das Minimum befindet sich nun in der dritten Zeile, was zu einer Zusammenfassung der Bedarfe der dritten und vierten Periode führt. Damit bleiben nur noch die ersten beiden Perioden übrig. Da das Minimum der zweiten Spalte in der ersten Zeile vorkommt, werden auch die Bedarfe der ersten beiden Perioden zusammengefasst. Damit ergeben sich dann folgende Bestellmengen und -zeitpunkte:
 

8. Ergebnis

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Tabelle 10: Ergebnis Wagner/Whitin-Verfahren

Das Diagramm verdeutlicht noch einmal die Kosten der unterschiedlichen Bestellstrategien. Für Periode 10 sind drei verschiedene Kosten eingetragen. Diese entsprechen den Kosten in den Feldern (8,10), (9,10) und (10,10) in der Tabelle. Da der mittlere Balken (zugehörig zum Tabelleneintrag (9,10)) am niedrigsten ist, zeigt er die optimalen Kosten bis zur zehnten Periode an. Die Farbe des Balkens zeigt die Entscheidung an, dass der Bedarf der zehnten Periode in der neunten Periode mitbestellt wird. Dann wird das Kostenminimum in Periode 8 betrachtet, was zu einer Bestellung in Periode 6 gehört…
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Abbildung 1: Kosten der unterschiedlichen Bestellstrategien

Anmerkung:
Die oben berechneten Kosten zu der Bestellstrategie nach Wagner/Whitin in Höhe von 427,50 € (K10*) beinhalten noch nicht die Lagerhaltungskosten des Bedarfes der Periode t in der Periode t. Diese Lagerkosten fallen bei jeder Strategie an und beeinflussen damit nicht das Ergebnis. Um die Formeln beim Wagner/Whitin-Algorithmus nicht unnötig zu verkomplizieren, wurden diese Lagerkosten nicht in die Betrachtung mit einbezogen. Um jedoch einen Kostenvergleich über alle Verfahren machen zu können, müssen die zusätzlichen Lagerhaltungskosten zu den bisherigen Kosten addiert werden.
zusätzliche Lagerhaltungskosten:
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Damit ergeben sich beim Wagner/Whitin-Verfahren folgende Gesamtkosten:
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9. Vorteile

Ein großer Vorteil des Wagner/Whitin-Verfahrens gegenüber den Heuristiken ist die Optimalität: Unter den gegebenen Randbedingungen werden immer die minimalen Kosten gefunden. Es ist damit kein Näherungsverfahren.
 

10. Kritik

Beim Wagner/Whitin-Algorithmus wird im Gegensatz zu den Näherungsverfahren die Bestellpolitik erst endgültig festgelegt, wenn der Planungshorizont erreicht ist. Da aber die Bedarfsprognosen mit wachsendem Planungszeitraum meistens unzuverlässiger werden, kann der paradoxe Fall eintreten, dass die Bestellheuristiken zu besseren Ergebnissen führen als das Wagner/Whitin-Verfahren. Bei der in der Praxis häufig angewandten rollierenden Planung verliert der Wagner/Whitin-Algorithmus seine Optimalitätseigenschaft, die auf einem abgegrenzten Planungshorizont beruht. Besonders bei kurzen Planungszeiträumen kommt es zu Schwierigkeiten, da in diesem Fall die letzte hinzugenommene Planungsperiode zu großen Einfluss auf die vorherigen Perioden hat und ggf. die komplette Strategie umschmeißt. Bei ausreichend langen Planungszeiträumen relativiert sich dieses Problem.
Ein weiterer Kritikpunkt ist der relativ hohe Rechenaufwand, der aber bei der heutigen Rechenleistung nicht mehr so von Bedeutung ist.
Erweiterungsmöglichkeiten
Für das Wagner/Whitin-Verfahren gibt es wie für die Heuristiken unterschiedliche Erweiterungsmöglichkeiten, wie z.B. die Beachtung von beschränkter Lagerkapazität, beschränkter Lagerdauer, variierender Lagerhaltungskostensatz und variierende Materialkosten. Beispielhaft werden hier die Auswirkung von Kapazitätsgrenzen und von mengenabhängigen und/oder zeitabhängigen Materialkosten auf das Wagner/Whitin-Verfahren betrachtet.
Beachtung von Kapazitätsgrenzen:
Das Wagner/Whitin-Verfahren kann zum Beispiel um die Beachtung von Kapazitätsgrenzen erweitert werden. Allerdings kommen dann auch Teilmengen in Frage und die Theoreme verlieren ihre Gültigkeit. Während der Berechnung werden unzulässige Aktionen bzw. Aktionsfolgen ausgeschlossen. Da das Wagner/Whitin-Verfahren keine Teilmengen berücksichtigt, liefert es für diesen Fall keine optimale Lösung mehr, sondern ist nur eine Heuristik. Um weiterhin die optimale Lösung zu finden, kann man alternativ auch alle möglichen Kombinationen an Teilmengen berücksichtigen (keine Vereinfachungen aufgrund der Theoreme durchführen), was zur dynamischen Programmierung führt, welche allerdings aufwendiger ist als das Wagner/Whitin-Verfahren.
Beachtung von mengenabhängigen und/oder zeitabhängigen Materialkosten:
Sind die Materialkosten entgegen der Prämisse nicht konstant, so liefert der Algorithmus ebenfalls nicht zwingend die optimale Lösung. Bei Mengenrabatten sind die reinen Materialkosten, die im Wagner/Whitin-Algorithmus als nicht entscheidungsrelevant unberücksichtigt bleiben, unbedingt in die Optimierungsrechnung einzubeziehen. Dadurch können die Theoreme 1 und 2 ihre Gültigkeit verlieren. Um trotz der Mengenrabatte stets und mit Sicherheit kostenminimale Beschaffungsalternativen zu bestimmen, darf die Optimierungsrechnung nicht gemäß der Theoreme verkürzt werden. Das bedeutet wiederum: Der Wagner/Whitin-Algorithmus geht in den allgemeinen Ansatz der Dynamischen Programmierung über.
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